જો બિંદુ $(\lambda, 1+\lambda)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=1$ ની અંદર આવેલું હોય,તો

જો એક નિશ્ચિત બિંદુ $M(a, b)$ માંથી દોરેલી રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=k^2$ ને $C$ અને $D$ માં છેદે,તો $MC \times MD$ ની કિંમત શું થાય?

$\lambda$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સમૂહ જેના માટે વર્તુળો $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 6 = 0$ અને $x^2 + y^2 - 10x - 10y + \lambda = 0$ ને બરાબર બે સામાન્ય સ્પર્શકો દોરી શકાય તે અંતરાલ કયો છે?

ધારો કે $C$ એ $XY$-સમતલમાં વર્તુળ $x^2+y^2=1$ છે. દરેક $t \geq 0$ માટે,ધારો કે $L_t$ એ $(0,1)$ અને $(t, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે. નોંધો કે $L_t$ એ $C$ ને બે બિંદુઓમાં છેદે છે,જેમાંથી એક $(0,1)$ છે. ધારો કે $Q_t$ એ બીજું બિંદુ છે. જેમ $t$ એ $1$ અને $1+\sqrt{2}$ ની વચ્ચે બદલાય છે,તેમ બિંદુઓ $Q_t$ નો સમૂહ $C$ પર એક ચાપ બનાવે છે. આ ચાપ દ્વારા $(0,0)$ આગળ આંતરાતો ખૂણો કેટલો છે?

ધારો કે $A(2, 3)$,$B(4, 5)$ અને $C = (x, y)$ એવું બિંદુ છે કે જેથી $(x - 2)(x - 4) + (y - 3)(y - 5) = 0$ થાય. જો $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{2} \text{ ચોરસ એકમ}$ હોય,તો $xy$ સમતલમાં $C$ ના શક્ય સ્થાનની મહત્તમ સંખ્યા કેટલી છે?

એક લઘુકોણ $\triangle ABC$ માં,$A, B, C$ માંથી દોરેલા વેધને લંબાવતા તે પરિવૃતને અનુક્રમે $A_1, B_1, C_1$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો $\angle ABC = 45^{\circ}$ હોય,તો $\angle A_1 B_1 C_1$ ની કિંમત શોધો. ($^{\circ}$ માં)