यदि वक्र y=f(x) पर किसी बिंदु (x, y) पर खींची | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 5$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $y = \int (3x^2 - 5) dx = x^3 - 5x + C$. चूंकि $f(1) = 2$, हमारे पास $2

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$(-2, 8)$

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(B) दिया गया है कि $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 5$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $y = \int (3x^2 - 5) dx = x^3 - 5x + C$. चूंकि $f(1) = 2$, हमारे पास $2 = 1^3 - 5(1) + C$ है, जिससे $2 = 1 - 5 + C$ प्राप्त होता है, अतः $C = 6$. इस प्रकार, वक्र का समीकरण $y = x^3 - 5x + 6$ है। $(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा का ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 2)} = 3(1)^2 - 5 = -2$ है। $(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2 = -2(x - 1)$ है, जो सरल होकर $y = -2x + 4$ हो जाता है। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, वक्र के समीकरण को स्पर्श रेखा के समीकरण के बराबर रखें: $x^3 - 5x + 6 = -2x + 4$. यह सरल होकर $x^3 - 3x + 2 = 0$ हो जाता है। त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर, हमें $(x - 1)^2(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है। मूल $x = 1$ और $x = -2$ हैं। $x = 1$ के लिए, $y = 2$ (स्पर्श बिंदु)। $x = -2$ के लिए, $y = -2(-2) + 4 = 8$. अतः, स्पर्श रेखा वक्र को $(-2, 8)$ बिंदु पर काटती है।

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