यदि अवकल समीकरण sin x frac{dy}{dx} + y cos x | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{2x}$ है।$\sin x$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{e^{2x}}{\sin x}

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$e^{\pi/3} - e^\pi$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{2x}$ है।$\sin x$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{e^{2x}}{\sin x}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = \cot x$ और $Q(x) = \frac{e^{2x}}{\sin x}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln(\sin x)} = \sin x$ है।समीकरण को $I$.$F$. से गुणा करने पर, $\frac{d}{dx}(y \sin x) = e^{2x}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, $y \sin x = \int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C$ प्राप्त होता है।अतः, $y = \frac{e^{2x}}{2 \sin x} + \frac{C}{\sin x}$ है।शर्त $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ का उपयोग करने पर, $0 = \frac{e^\pi}{2(1)} + \frac{C}{1}$, जिससे $C = -\frac{e^\pi}{2}$ प्राप्त होता है।$C$ का मान रखने पर, $y = \frac{e^{2x} - e^\pi}{2 \sin x}$ प्राप्त होता है।अब, $x = \frac{\pi}{6}$ के लिए, $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ है।इसलिए, $y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{e^{\pi/3} - e^\pi}{2(1/2)} = e^{\pi/3} - e^\pi$।

यदि अवकल समीकरण $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{2x}, x \in (0, \pi)$ का हल $y(x)$, $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ को संतुष्ट करता है, तो $y\left(\frac{\pi}{6}\right) = $

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