यदि समीकरण ax^2 + bx + c = 0 के मूलों का योग | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है। मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ ह

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$A.P.$

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(A) दिया गया समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है। मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।उनके वर्गों के व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2\beta^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$ है।मान रखने पर: $\frac{(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})}{(\frac{c}{a})^2} = \frac{\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$ प्राप्त होता है।दी गई शर्त के अनुसार,$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$,इसलिए $-\frac{b}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$ है।वज्र-गुणन करने पर $-bc^2 = a(b^2 - 2ac) = ab^2 - 2a^2c$ प्राप्त होता है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$2a^2c = ab^2 + bc^2$ मिलता है।यह $2(ca^2) = bc^2 + ab^2$ के रूप में है,जो $bc^2, ca^2, ab^2$ के $A.P.$ में होने की शर्त है।

यदि समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का योग उनके वर्गों के व्युत्क्रमों के योग के बराबर है,तो $bc^2, ca^2, ab^2$ किसमें होंगे?

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मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-px+r=0$ के मूल हैं और $\frac{\alpha}{2}, 2\beta$ समीकरण $x^2-qx+r=0$ के मूल हैं। तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-9x^2+23x-15=0$ के मूल हैं,तो $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=$

यदि एक द्विघात समीकरण के मूलों का $A.M.$ और $G.M.$ क्रमशः $8$ और $5$ हैं,तो द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए।

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