यदि दो वक्र x=y^2 और xy=k एक-दूसरे को समकोण प | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्र $x=y^2 \dots(i)$ और $xy=k \dots(ii)$ हैं।$(i)$ से, $x=y^2$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर, $y^2 \cdot y = k$, अतः $y^3 = k$, जिस

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(A) दिए गए वक्र $x=y^2 \dots(i)$ और $xy=k \dots(ii)$ हैं।$(i)$ से, $x=y^2$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर, $y^2 \cdot y = k$, अतः $y^3 = k$, जिसका अर्थ है $y = k^{1/3}$ और $x = k^{2/3}$।$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} = m_1$।$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y + x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} = m_2$।चूंकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, $m_1 m_2 = -1$।$\left(\frac{1}{2y}ight) \left(-\frac{y}{x}ight) = -1 \Rightarrow \frac{1}{2x} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$।चूंकि $x = y^2$, इसलिए $y^2 = \frac{1}{2}$, अतः $y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।$xy=k$ से, $k^2 = x^2 y^2 = x^2 (x) = x^3$।$x = \frac{1}{2}$ रखने पर, $k^2 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$।अतः, $8k^2 = 8 	imes \frac{1}{8} = 1$।

यदि दो वक्र $x=y^2$ और $xy=k$ एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं, तो $8k^2$ का एक संभावित मान क्या है?

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