यदि सदिश $a\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b\hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+c\hat{k}$ समतलीय हैं $(a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1)$,तो $abc-(a+b+c)$ का मान है:

यदि एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी सह-अंतिम भुजाएँ सदिशों $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j} + n\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - n\hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = \hat{i} + n\hat{j} + 3\hat{k}$ $(n \geq 0)$ द्वारा दी गई हैं,$158$ घन इकाई है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं जिनके परिमाण क्रमशः $1, 2, 3$ हैं,तो $[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $OA, OB, OC$ एक $V$ आयतन वाले आयताकार समानांतर षट्फलक (rectangular parallelopiped) के सह-अंतिम किनारे हैं और $P$ बिंदु $O$ के विपरीत शीर्ष है। तो, $[\overrightarrow{AP} \overrightarrow{BP} \overrightarrow{CP}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}+\lambda\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$ और $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 10$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी किनारे $\bar{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\bar{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,और $\bar{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं,$1$ घन इकाई है। यदि $\theta$,$\bar{u}$ और $\bar{w}$ के बीच का कोण है,तो $\cos \theta$ का मान है: