दी गई आकृति में,यदि $AB \parallel DC$ है और $AC$ तथा $PQ$ एक-दूसरे को बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $OA \cdot CQ = OC \cdot AP$.

(N/A) दिया है: $AC$ और $PQ$ एक-दूसरे को बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं और $AB \parallel DC$ है।
सिद्ध करना है: $OA \cdot CQ = OC \cdot AP$.
उपपत्ति:
$\triangle AOP$ और $\triangle COQ$ में:
$1$. $\angle AOP = \angle COQ$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$2$. $\angle OAP = \angle OCQ$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $\angle OPA = \angle OQC$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $AB \parallel DC$ और $PQ$ एक तिर्यक रेखा है)।
अतः,$\triangle AOP \sim \triangle COQ$ ($AAA$ समरूपता कसौटी द्वारा)।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं:
$\frac{OA}{OC} = \frac{AP}{CQ}$
वज्र गुणन करने पर:
$OA \cdot CQ = OC \cdot AP$.
इति सिद्धम्।