आकृति में,रेखाखंड $DF$,त्रिभुज $ABC$ की भुजा $AC$ को बिंदु $E$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि $E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है और $\angle AEF = \angle AFE$ है। सिद्ध कीजिए कि
$\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{CE}$

(N/A) दिया है: $\triangle ABC$ में,$E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है और $\angle AEF = \angle AFE$ है।
सिद्ध करना है: $\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{CE}$.
रचना: $AB$ पर एक बिंदु $G$ इस प्रकार लीजिए कि $CG \parallel EF$ हो।
उपपत्ति: चूँकि $E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $CE = AE$ $(i)$.
$\triangle ACG$ में,$CG \parallel EF$ और $E$,$CA$ का मध्य-बिंदु है,अतः मध्य-बिंदु प्रमेय के विलोम से,$F$,$AG$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$GF = AF$ $(ii)$.
$\triangle AEF$ में,$\angle AEF = \angle AFE$ होने के कारण,$AE = AF$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,$CE = AE = AF = GF$ है। अतः,$CE = GF$ है।
अब,$\triangle BDF$ में,$CG \parallel EF$ होने के कारण,आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ से,$\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{GF}$ प्राप्त होता है।
$GF = CE$ रखने पर,हमें $\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{CE}$ प्राप्त होता है।
इति सिद्धम्।