Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesMix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles
Mediumआकृति में,$ABCD$ और $AEFD$ दो समांतर चतुर्भुज हैं। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(\triangle PEA) = \operatorname{ar}(\triangle QFD)$.
(N/A) दिया है: $ABCD$ और $AEFD$ दो समांतर चतुर्भुज हैं।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(\triangle PEA) = \operatorname{ar}(\triangle QFD)$.
उपपत्ति:
$\triangle PEA$ और $\triangle QFD$ में:
$1$. $\angle APE = \angle DQF$ (संगत कोण बराबर हैं क्योंकि $AB \parallel CD$ और $PQ$ एक तिर्यक रेखा है)।
$2$. $\angle AEP = \angle DFQ$ (संगत कोण बराबर हैं क्योंकि $AE \parallel DF$ और $PQ$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $AE = DF$ (समांतर चतुर्भुज $AEFD$ की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
अतः,$AAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\triangle PEA \cong \triangle QFD$।
चूँकि सर्वांगसम त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(\triangle PEA) = \operatorname{ar}(\triangle QFD)$।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(\triangle PEA) = \operatorname{ar}(\triangle QFD)$.
उपपत्ति:
$\triangle PEA$ और $\triangle QFD$ में:
$1$. $\angle APE = \angle DQF$ (संगत कोण बराबर हैं क्योंकि $AB \parallel CD$ और $PQ$ एक तिर्यक रेखा है)।
$2$. $\angle AEP = \angle DFQ$ (संगत कोण बराबर हैं क्योंकि $AE \parallel DF$ और $PQ$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $AE = DF$ (समांतर चतुर्भुज $AEFD$ की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
अतः,$AAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\triangle PEA \cong \triangle QFD$।
चूँकि सर्वांगसम त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(\triangle PEA) = \operatorname{ar}(\triangle QFD)$।
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