$\Delta ABC$ में,$\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $\overrightarrow{AO}$,$\overline{BC}$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{AB}{AC} = \frac{BP}{PC}$।

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ में,मान लीजिए $BO$,$\angle B$ का समद्विभाजक है और $CO$,$\angle C$ का समद्विभाजक है। चूँकि $O$ इन समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,त्रिभुज के अंतःकेंद्र के गुणधर्म के अनुसार $AO$,$\angle A$ का समद्विभाजक है।
$2$. कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\Delta ABC$ में,यदि $AP$,$\angle A$ का समद्विभाजक है जो $BC$ को $P$ पर काटता है,तो कोण बनाने वाली भुजाओं का अनुपात सम्मुख भुजा के खंडों के अनुपात के बराबर होता है।
$3$. अतः,$\frac{AB}{AC} = \frac{BP}{PC}$।
$4$. यह $\Delta ABC$ के लिए कोण समद्विभाजक प्रमेय की पुष्टि करता है जहाँ $AP$,$\angle A$ का आंतरिक कोण समद्विभाजक है।