$\Delta PQR$ में,$X$,$QR$ का मध्य-बिंदु है। $XY$ और $XZ$ क्रमशः $PQ$ और $PR$ पर $X$ से डाले गए शीर्षलंब (altitudes) हैं। यदि $XY = XZ$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\Delta PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$X$,$QR$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $QX = XR$ है। $XY \perp PQ$ और $XZ \perp PR$ है। साथ ही,$XY = XZ$ है।
चरण $1$: $\Delta QXY$ और $\Delta RXZ$ पर विचार करें।
चरण $2$: इन दो त्रिभुजों में:
$1$. $\angle XYQ = \angle XZR = 90^{\circ}$ (शीर्षलंब दिए गए हैं)।
$2$. $XY = XZ$ (दिया है)।
$3$. $QX = XR$ ($X$,$QR$ का मध्य-बिंदु है)।
चरण $3$: $RHS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta QXY \cong \Delta RXZ$ है।
चरण $4$: $CPCT$ द्वारा,$\angle Q = \angle R$ है।
चरण $5$: $\Delta PQR$ में,चूँकि $\angle Q = \angle R$ है,इसलिए इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होनी चाहिए,अर्थात $PR = PQ$ है।
निष्कर्ष: चूँकि $\Delta PQR$ की दो भुजाएँ बराबर हैं,अतः $\Delta PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।