triangle ABC में,यदि (r_2-r_1)(r_3-r_1)=2 r_2 | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $(r_2-r_1)(r_3-r_1)=2 r_2 r_3$। $r_2 r_3$ से भाग देने पर,हमें $(1-\frac{r_1}{r_2})(1-\frac{r_1}{r_3})=2$ प्राप्त होता है। $r_1 = \f

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$2 \sqrt{2} R \cos \left(\frac{B-C}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $(r_2-r_1)(r_3-r_1)=2 r_2 r_3$। $r_2 r_3$ से भाग देने पर,हमें $(1-\frac{r_1}{r_2})(1-\frac{r_1}{r_3})=2$ प्राप्त होता है। $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर,$(1-\frac{s-b}{s-a})(1-\frac{s-c}{s-a})=2$ प्राप्त होता है। यह $(\frac{s-a-s+b}{s-a})(\frac{s-a-s+c}{s-a})=2$ में सरल हो जाता है,जो $(b-a)(c-a)=2(s-a)^2$ है। चूंकि $2(s-a) = b+c-a$,हमारे पास $(b-a)(c-a) = \frac{1}{2}(b+c-a)^2$ है। इसका विस्तार करने पर $b^2+c^2-a^2=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a^2=b^2+c^2$,जिसका अर्थ है $\angle A=90^{\circ}$। हम जानते हैं कि $2(r+R) = 2r+2R = (b+c-a) + a = b+c$। चूंकि $b=2R \sin B$ और $c=2R \sin C$,$b+c = 2R(\sin B + \sin C) = 2R(2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2})$। चूंकि $A=90^{\circ}$,$B+C=90^{\circ}$,इसलिए $\sin \frac{B+C}{2} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$। अतः,$2(r+R) = 4R(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cos \frac{B-C}{2} = 2 \sqrt{2} R \cos \frac{B-C}{2}$।

$\triangle ABC$ में,यदि $(r_2-r_1)(r_3-r_1)=2 r_2 r_3$ है,तो $2(r+R)=$

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