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Question

(B) मान लीजिए $S_i$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर दिए हैं। हमें दिया गया है $S_i = 2^{n-i}$।गलत उत्तरों की कुल

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$11$

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(B) मान लीजिए $S_i$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर दिए हैं। हमें दिया गया है $S_i = 2^{n-i}$।गलत उत्तरों की कुल संख्या $1$ से $n$ तक के सभी $i$ के लिए कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर देने वाले छात्रों की संख्या का योग है।गलत उत्तरों की कुल संख्या $= \sum_{i=1}^{n} S_i = \sum_{i=1}^{n} 2^{n-i}$।यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $2^{n-1} + 2^{n-2} + \ldots + 2^0$।गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करते हुए, $\sum_{k=0}^{n-1} 2^k = \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$।यह दिया गया है कि गलत उत्तरों की कुल संख्या $2047$ है, इसलिए $2^n - 1 = 2047$।$2^n = 2048$।चूँकि $2048 = 2^{11}$, हमें $n = 11$ प्राप्त होता है।

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यदि $2^{10} + 2^{9} \cdot 3^{1} + 2^{8} \cdot 3^{2} + \ldots + 2^{1} \cdot 3^{9} + 3^{10} = S - 2^{11}$ है,तो $S$ का मान ज्ञात कीजिए।

वह न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $1 - \frac{2}{3} - \frac{2}{3^2} - \dots - \frac{2}{3^{n-1}} < \frac{1}{100}$ हो।

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