चतुर्भुज $ACBD$ में,$AC = AD$ है और $AB$ कोण $\angle A$ को समद्विभाजित करता है (आकृति देखिए)। दर्शाइए कि $\Delta ABC \cong \Delta ABD$ है। आप $BC$ और $BD$ के बारे में क्या कह सकते हैं?
(N/A) चतुर्भुज $ACBD$ में,हमें दिया गया है:
$AC = AD$
$AB$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,जिसका अर्थ है कि $\angle CAB = \angle DAB$ है।
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta ABD$ पर विचार करें:
$1$. $AC = AD$ (दिया है)
$2$. $\angle CAB = \angle DAB$ (चूंकि $AB$,$\angle A$ का समद्विभाजक है)
$3$. $AB = AB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta ABD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए $CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा उनके संगत भाग बराबर होते हैं।
अतः,$BC = BD$ है।
$AC = AD$
$AB$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,जिसका अर्थ है कि $\angle CAB = \angle DAB$ है।
अब,$\Delta ABC$ और $\Delta ABD$ पर विचार करें:
$1$. $AC = AD$ (दिया है)
$2$. $\angle CAB = \angle DAB$ (चूंकि $AB$,$\angle A$ का समद्विभाजक है)
$3$. $AB = AB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SAS$ (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta ABC \cong \Delta ABD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए $CPCT$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) द्वारा उनके संगत भाग बराबर होते हैं।
अतः,$BC = BD$ है।
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$(i)$ $\Delta APB \cong \Delta AQB$
$(ii)$ $BP = BQ$ अर्थात $B$ कोण $\angle A$ की भुजाओं से समदूरस्थ है।
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$(i)$ $\Delta ABE \cong \Delta ACF$
$(ii)$ $AB = AC$,अर्थात $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
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$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$,$\angle A$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$(iv)$ $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।
$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$,$\angle A$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$(iv)$ $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।
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