$\left(\sqrt[3]{2}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^n, n \in N$ के विस्तार में,यदि प्रारंभ से $15^{\text{th}}$ पद और अंत से $15^{\text{th}}$ पद का अनुपात $\frac{1}{6}$ है,तो ${}^n C_3$ का मान ज्ञात कीजिए:

जब $x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{3}$ है,तो $(2x + 3y)^{11}$ के विस्तार में संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद क्या है?

यदि $(1+x)^{15}$ के विस्तार में $c_{0}, c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{15}$ द्विपद गुणांक हैं, तो $\frac{c_{1}}{c_{0}}+2 \frac{c_{2}}{c_{1}}+3 \frac{c_{3}}{c_{2}}+\ldots+15 \frac{c_{15}}{c_{14}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(1 + x)^n$ के विस्तार में दो क्रमागत पदों के गुणांक समान होंगे,यदि

यदि $(1+x)^{2018}$ के विस्तार में $(2 \alpha+4)$-वें और $(\alpha-2)$-वें पदों के गुणांक समान हैं,तो $\alpha=$

मान लीजिए कि $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$,$(1-3 \beta x)^{2}$ और $\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ के विस्तार में मध्य पदों के गुणांक,जहाँ $\beta > 0$,क्रमशः एक $A.P.$ के पहले तीन पद बनाते हैं। यदि $d$ इस $A.P.$ का सार्व अंतर है,तो $50-\frac{2 d}{\beta^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।