मान लीजिए f और g दो बार अवकलनीय फलन हैं,इस प् | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f(x) \cdot g(x) = 1$ है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x) = 0$  --- $(1)$ समीकरण

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$2\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)^2$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $f(x) \cdot g(x) = 1$ है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x) = 0$  --- $(1)$ समीकरण $(1)$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f(x) \cdot g''(x) + f'(x) \cdot g'(x) + g'(x) \cdot f'(x) + g(x) \cdot f''(x) = 0$ $f(x) \cdot g''(x) + g(x) \cdot f''(x) + 2f'(x) \cdot g'(x) = 0$ पूरे समीकरण को $f(x) \cdot g(x)$ (जो $1$ है) से विभाजित करने पर: $\frac{f(x) \cdot g''(x)}{f(x) \cdot g(x)} + \frac{g(x) \cdot f''(x)}{f(x) \cdot g(x)} + \frac{2f'(x) \cdot g'(x)}{f(x) \cdot g(x)} = 0$ $\frac{g''(x)}{g(x)} + \frac{f''(x)}{f(x)} + 2 \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot \frac{g'(x)}{g(x)} = 0$ --- $(2)$ समीकरण $(1)$ से,$f(x) \cdot g'(x) = -g(x) \cdot f'(x)$,जिसका अर्थ है कि $\frac{g'(x)}{g(x)} = -\frac{f'(x)}{f(x)}$। इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर: $\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(x)}{g(x)} + 2 \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot \left(-\frac{f'(x)}{f(x)}\right) = 0$ $\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(x)}{g(x)} - 2 \left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)^2 = 0$ $\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(x)}{g(x)} = 2 \left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)^2$.

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