मान लीजिए A एक ऐसा वर्ग आव्यूह है कि सभी i, j | vedclass

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Question

(D) एक वर्ग आव्यूह $A$ जिसमें प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्येतर प्रविष्टि हो,जहाँ शून्येतर प्रविष्टि $\pm 1$ हो,उसे सामान्यीकृत क्रमचय आव्य

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$A$ को लंबकोणीय (orthogonal) होना चाहिए

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(D) एक वर्ग आव्यूह $A$ जिसमें प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्येतर प्रविष्टि हो,जहाँ शून्येतर प्रविष्टि $\pm 1$ हो,उसे सामान्यीकृत क्रमचय आव्यूह (generalized permutation matrix) कहा जाता है।मान लीजिए $A$ एक $n 	imes n$ आव्यूह है। चूंकि प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्येतर प्रविष्टि $1$ या $-1$ है,इसलिए $AA^T$ का गुणनफल तत्समक आव्यूह $I_n$ प्रदान करता है।विशेष रूप से,$AA^T$ की $(i, j)$-वीं प्रविष्टि $A$ की $i$-वीं पंक्ति और $j$-वीं पंक्ति का अदिश गुणनफल है। यदि $i 
eq j$ है,तो पंक्तियाँ लंबकोणीय होती हैं,इसलिए अदिश गुणनफल $0$ होता है। यदि $i = j$ है,तो अदिश गुणनफल $(\pm 1)^2 = 1$ होता है।अतः,$AA^T = I_n$,जो दर्शाता है कि $A$ एक लंबकोणीय आव्यूह है।चूंकि $A$ लंबकोणीय है,$\det(A) = \pm 1$,इसलिए $A$ हमेशा व्युत्क्रमणीय (non-singular) होता है।

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आव्यूह $A = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -1 \end{bmatrix}$ है

यदि $A+A^{\prime}=I$ है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$ है,तो $\cos \alpha$ का मान . . . . . . है।

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