मान लीजिए A एक ऐसा वर्ग आव्यूह है कि सभी i, j | vedclass

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Question

(D) एक वर्ग आव्यूह $A$ जिसमें प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्येतर प्रविष्टि हो,जहाँ शून्येतर प्रविष्टि $\pm 1$ हो,उसे सामान्यीकृत क्रमचय आव्य

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$A$ को लंबकोणीय (orthogonal) होना चाहिए

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(D) एक वर्ग आव्यूह $A$ जिसमें प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्येतर प्रविष्टि हो,जहाँ शून्येतर प्रविष्टि $\pm 1$ हो,उसे सामान्यीकृत क्रमचय आव्यूह (generalized permutation matrix) कहा जाता है।मान लीजिए $A$ एक $n 	imes n$ आव्यूह है। चूंकि प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्येतर प्रविष्टि $1$ या $-1$ है,इसलिए $AA^T$ का गुणनफल तत्समक आव्यूह $I_n$ प्रदान करता है।विशेष रूप से,$AA^T$ की $(i, j)$-वीं प्रविष्टि $A$ की $i$-वीं पंक्ति और $j$-वीं पंक्ति का अदिश गुणनफल है। यदि $i 
eq j$ है,तो पंक्तियाँ लंबकोणीय होती हैं,इसलिए अदिश गुणनफल $0$ होता है। यदि $i = j$ है,तो अदिश गुणनफल $(\pm 1)^2 = 1$ होता है।अतः,$AA^T = I_n$,जो दर्शाता है कि $A$ एक लंबकोणीय आव्यूह है।चूंकि $A$ लंबकोणीय है,$\det(A) = \pm 1$,इसलिए $A$ हमेशा व्युत्क्रमणीय (non-singular) होता है।

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यदि $X_{4 \times 3}$, $Y_{4 \times 3}$ और $P_{2 \times 3}$ आव्यूह हैं, तो आव्यूह $\left[P(X^T Y)^{-1} P^T\right]^T$ की कोटि क्या है?

यदि $A$ और $B$ दो ऐसे आव्यूह हैं कि $AB$ एक तत्समक आव्यूह (identity matrix) है और आव्यूह $B$ की कोटि $3 \times 4$ है,तो आव्यूह $A$ की कोटि क्या है?

निम्नलिखित में से कौन सा आव्यूह एक वर्ग आव्यूह नहीं है?

यदि $A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}$ इस प्रकार है कि $A^{2} = I$,तो

यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है, तो $(A+I)^3 + (A-I)^3 = \dots$

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