मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{100}$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं और $S_k$,$a_1, a_2, \dots, a_{100}$ के एक साथ $k$ लेने पर प्राप्त गुणनफलों का योग है। यदि $S_{98} S_2 \ge \lambda (a_1 a_2 \dots a_{100})$ है,तो $\lambda$ क्या है?

$(1 + t^2)^{10}(1 + t^{10})(1 + t^{20})$ के विस्तार में $t^{20}$ का गुणांक है

मान लीजिए कि $\lambda$ समीकरण $x^2-x-1=0$ का धनात्मक मूल है,और $n \in N$ के लिए $a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\lambda^n - (1-\lambda)^n\right)$ निर्धारित करें,जहाँ $N$ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। समुच्चय $A = \{ n \in N : a_n \text{ एक परिमेय संख्या है, लेकिन पूर्णांक नहीं} \}$ और $B = \{ n \in N : a_n \text{ एक अपरिमेय संख्या है} \}$ पर विचार करें। तो:

$\sum_{\substack{i, j=0 \\ i \neq j}}^{n} {}^{n}C_{i} {}^{n}C_{j}$ का मान क्या है?

List-$I$ का List-$II$ के साथ सही मिलान है:

मान लीजिए कि $\left(\sqrt{2^{\log_2(10-3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x-2)\log_2 3}}\right)^m$ के द्विपद विस्तार में,$2^{(x-2)\log_2 3}$ की बढ़ती घातों में छठा पद $21$ है। यदि विस्तार में दूसरे,तीसरे और चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमशः एक $A.P.$ के पहले,तीसरे और पांचवें पद हैं,तो $x$ के सभी संभावित मानों के वर्गों का योग $.........$ है।