ધારો કે alpha = frac{-1 + i sqrt{3}}{2}. જો a | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $\alpha = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} = \omega$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,જે $\omega^{3} = 1$ અને $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ નુ

Vedclass · Accepted Answer

$x^{2} - 102x + 101 = 0$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $\alpha = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} = \omega$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,જે $\omega^{3} = 1$ અને $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ નું પાલન કરે છે.$a = (1 + \omega) (1 + \omega^{2} + \omega^{4} + \dots + \omega^{200})$ માટે.$\omega^{3} = 1$ હોવાથી,શ્રેણી $1, \omega^{2}, \omega^{4}, \dots$ દર ત્રણ પદે $1, \omega^{2}, \omega$ તરીકે પુનરાવર્તિત થાય છે. ત્રણ ક્રમિક પદોનો સરવાળો $1 + \omega^{2} + \omega = 0$ થાય છે.સરવાળામાં કુલ $101$ પદો છે. પ્રથમ $99$ પદોનો સરવાળો $0$ થાય છે. બાકીના બે પદો $100$મું અને $101$મું પદ છે: $1 + \omega^{2}$.આમ,$a = (1 + \omega)(1 + \omega^{2}) = 1 + \omega^{2} + \omega + \omega^{3} = 0 + 1 = 1$.$b = \sum_{k=0}^{100} \alpha^{3k} = \sum_{k=0}^{100} (\omega^{3})^{k} = \sum_{k=0}^{100} (1)^{k} = 101$.બીજ $a = 1$ અને $b = 101$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $(x - 1)(x - 101) = 0$ એટલે કે $x^{2} - 102x + 101 = 0$ છે.

ધારો કે $\alpha = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}$. જો $a = (1 + \alpha) \sum_{k=0}^{100} \alpha^{2k}$ અને $b = \sum_{k=0}^{100} \alpha^{3k}$ હોય,તો $a$ અને $b$ એ કયા દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે?

Similar Questions

$(-1-\sqrt{3} i)^{3/4}$ ની વાસ્તવિક કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $\omega \neq 1$ એ એકમનું ઘનમૂળ હોય, તો શ્રેણી $S = 1 + 2\omega + 3\omega^2 + \dots + 3n\omega^{3n-1}$ નો સરવાળો શું થાય?

જો $x = a + b$,$y = a\omega + b\omega^2$,અને $z = a\omega^2 + b\omega$ હોય,તો $x^3 + y^3 + z^3$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો $z^{2} + z + 1 = 0$,$z \in \mathbb{C}$ હોય,તો $\left| \sum_{n=1}^{15} \left( z^{n} + (-1)^{n} \frac{1}{z^{n}} \right)^{2} \right|$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module