ધારો કે $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b} = 7\hat{i} + \hat{j} - 6\hat{k}$. જો $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = -3$ હોય,તો $\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ જ્યાં $a_{i} > 0, i = 1, 2, 3$ એ એક સદિશ છે જે યામ અક્ષો $OX$,$OY$ અને $OZ$ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે. વળી,ધારો કે $\vec{a}$ નો સદિશ $3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ પરનો પ્રક્ષેપ $7$ છે. ધારો કે $\vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને $90^{\circ}$ ફેરવીને મેળવેલ સદિશ છે. જો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $x$-અક્ષ સમતલીય હોય,તો સદિશ $\vec{b}$ નો $3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ પરનો પ્રક્ષેપ કેટલો થાય?

જો $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$, $\vec{b} = \alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ હોય, તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો

ધારો કે બે અસમરેખ એકમ સદિશો $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ લઘુકોણ બનાવે છે. એક બિંદુ $P$ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી કોઈપણ સમયે $t$ પર સ્થાન સદિશ $\overline{OP}$ (જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે) $\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે $P$ ઉગમબિંદુ $O$ થી સૌથી દૂર હોય,ત્યારે $M$ એ $\overline{OP}$ ની લંબાઈ છે અને $\hat{u}$ એ $\overline{OP}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે. તો,

જો બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એ $\triangle ABC$ ના અનુક્રમે પરિકેન્દ્ર અને લંબકેન્દ્ર હોય,તો $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$ બરાબર શું થાય?

જો બે સદિશો $\vec{u} = (a, 2)$ અને $\vec{v} = (a, -2)$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.