मान लीजिए कि alpha, beta, gamma, delta समीकरण | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $x^4 + x^2 + 1 = 0$ के मूल हैं। मान लीजिए $y = x^2$,जिसका अर्थ है $x = \pm \sqrt{y}$। मूल सम

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$(x^2 + x + 1)^2 = 0$

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(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $x^4 + x^2 + 1 = 0$ के मूल हैं। मान लीजिए $y = x^2$,जिसका अर्थ है $x = \pm \sqrt{y}$। मूल समीकरण $x^4 + x^2 + 1 = 0$ में $x^2 = y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x^2)^2 + x^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है। $x^2$ को $y$ से बदलने पर,हमें $y^2 + y + 1 = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि नए समीकरण के मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2, \delta^2$ हैं,और मूल समीकरण का प्रत्येक मूल $x^4 + x^2 + 1 = 0$ को संतुष्ट करता है,इसलिए रूपांतरण $y = x^2$ चार मूलों को $y$ के दो मानों पर मैप करता है जो $y^2 + y + 1 = 0$ को संतुष्ट करते हैं। चूंकि प्रत्येक मूल का वर्ग किया जा रहा है,इसलिए परिणामी समीकरण में मूलों की बहुलता (multiplicity) को ध्यान में रखना आवश्यक है। समीकरण $y^2 + y + 1 = 0$ के दो मूल हैं,मान लीजिए $y_1$ और $y_2$। चूंकि मूल समीकरण $4$ घात का है,इसलिए नया समीकरण भी $4$ घात का होना चाहिए। अतः,अभीष्ट समीकरण $(y^2 + y + 1)^2 = 0$ है,जो $x$ के पदों में $(x^2 + x + 1)^2 = 0$ है।

मान लीजिए कि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $x^4 + x^2 + 1 = 0$ के मूल हैं,तो वह समीकरण जिसके मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2, \delta^2$ हैं,क्या होगा?

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दिए गए समीकरणों को हल करें और सही विकल्प चुनें।
$I.$ $8x + 7y = 135$
$II.$ $5x + 6y = 99$
$III.$ $9y + 8z = 121$

यदि $x = a^{1/2} + a^{-1/2}$ और $y = a^{1/2} - a^{-1/2}$ है,तो $(x^4 - x^2 y^2 - 1) + (y^4 - x^2 y^2 + 1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $x^{2}-11x+24=0$
$II.$ $2y^{2}-9y+9=0$

समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ पर विचार करें,जहाँ $p, q, r$ वास्तविक हैं। मूल परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत होते हैं जब

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}-3 \lambda x+\lambda^{2}=0$ के मूल हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए यदि $\alpha^{2}+\beta^{2}=\frac{7}{4}$ है।

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