मान लीजिए f एक वास्तविक मान वाला फलन है,जो R | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = 3 \log_{e} \left| \frac{x-1}{x+1} \right| - \frac{2}{x-1}$.इसे हम $f(x) = 3 \log_{e} |x-1| - 3 \log_{e} |x+1| - \frac{2}{x-1}$

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$(-\infty, -1) \cup \left[ \frac{1}{2}, 1 \right) \cup (1, \infty)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = 3 \log_{e} \left| \frac{x-1}{x+1} ight| - \frac{2}{x-1}$.इसे हम $f(x) = 3 \log_{e} |x-1| - 3 \log_{e} |x+1| - \frac{2}{x-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:$f'(x) = 3 \left( \frac{1}{x-1} ight) - 3 \left( \frac{1}{x+1} ight) + \frac{2}{(x-1)^2}$.व्यंजक को सरल करने पर:$f'(x) = 3 \left( \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} ight) + \frac{2}{(x-1)^2} = 3 \left( \frac{2}{x^2-1} ight) + \frac{2}{(x-1)^2}$.$f'(x) = \frac{6}{(x-1)(x+1)} + \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{6(x-1) + 2(x+1)}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{6x - 6 + 2x + 2}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{8x - 4}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{4(2x-1)}{(x-1)^2(x+1)}$.फलन $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।चूंकि सभी $x 
eq 1$ के लिए $(x-1)^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $\frac{2x-1}{x+1}$ पर निर्भर करता है।$\frac{2x-1}{x+1} \geq 0$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर:क्रांतिक बिंदु $x = \frac{1}{2}$ और $x = -1$ हैं।अंतरालों की जांच करने पर: $(-\infty, -1)$,$(-1, \frac{1}{2}]$,और $[\frac{1}{2}, \infty)$.$x \in (-\infty, -1) \cup [\frac{1}{2}, 1) \cup (1, \infty)$ के लिए $f'(x) > 0$ होता है।

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