ધારો કે y(x) એ વિકલ સમીકરણ 2 x^{2} dy + (e^{y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$.$2 x^{2} dx$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{e^{y} - 2x}{2 x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{dy}

Vedclass · Accepted Answer

$\log_{e} 2$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$.$2 x^{2} dx$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{e^{y} - 2x}{2 x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{e^{y}}{2 x^{2}} - \frac{1}{x} = 0$.પુનઃગોઠવણ કરતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} = -\frac{e^{y}}{2 x^{2}} \Rightarrow e^{-y} \frac{dy}{dx} - \frac{e^{-y}}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}}$.ધારો કે $z = e^{-y}$,તો $\frac{dz}{dx} = -e^{-y} \frac{dy}{dx}$.સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}} \Rightarrow \frac{dz}{dx} + \frac{z}{x} = \frac{1}{2 x^{2}}$.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log_{e} x} = x$ છે.ઉકેલ: $z \cdot x = \int x \cdot \frac{1}{2 x^{2}} dx + C = \int \frac{1}{2x} dx + C = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.$z = e^{-y}$ હોવાથી,$x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.$y(e) = 1$ આપેલ છે,તેથી $x = e$ અને $y = 1$ મૂકતા: $e \cdot e^{-1} = \frac{1}{2} \log_{e} e + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.આમ,$x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \log_{e} (ex)$.$y(1)$ શોધવા માટે,$x = 1$ મૂકતા: $1 \cdot e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \log_{e} (e \cdot 1) = \frac{1}{2} \log_{e} e = \frac{1}{2}$.$e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{y(1)} = 2 \Rightarrow y(1) = \log_{e} 2$.

ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$,$x > 0$ નો ઉકેલ છે. જો $y(e) = 1$ હોય,તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - 2y \tan 2x = e^x \sec 2x$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+2y=\sin(2x)$ નો ઉકેલ હોય અને $y(0)=\frac{3}{4}$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{8}\right)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x-x^{3}) dy=(y+yx^{2}-3x^{4}) dx, x>2$ નો ઉકેલ છે. જો $y(3)=3$ હોય,તો $y(4)$ ની કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $e^{x} dy + (ye^{x} + 2x) dx = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module