मान लीजिए कि $y(x)$ अवकल समीकरण $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$,$x > 0$ का हल है। यदि $y(e) = 1$ है,तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$I$. यदि $dy+2xy dx=2e^{-x^2} dx$ है,तो $ye^{x^2}=2x+c$
$II$. यदि $ye^{x^2}-2x=c$ है,तो $dx=\frac{dy}{2e^{-x^2}-2xy}$
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $2 \cos x \frac{d y}{d x}=\sin 2 x-4 y \sin x$ का हल है,जहाँ $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ है। यदि $y\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$ है,तो $y^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक अवकलनीय फलन $f$ समीकरण $f(x) + \int_{3}^{x} \frac{f(t)}{t} dt = \sqrt{x+1}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $x \geq 3$ है। तो $12f(8)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि अवकल समीकरण $(1+e^{2x})(\frac{dy}{dx}+y)=1$ का हल वक्र $y=y(x)$ बिंदु $(0, \frac{\pi}{2})$ से होकर गुजरता है। तो,$\lim_{x \rightarrow \infty} e^{x} y(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो सभी $x \in R$ के लिए $f(x)=x+\int_0^x f(t) dt$ को संतुष्ट करता है। तो,समुच्चय $S=\{x \in R: f(x)=0\}$ में अवयवों की संख्या है