ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}=1+x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 1 + xe^{y-x}$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - 1 = xe^{y-x}$.ધારો કે $y-x = u$,તો $\frac{du}{dx} = \frac{

Vedclass · Accepted Answer

$(1-\sqrt{3})-\log_{e}(\sqrt{3}-1)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 1 + xe^{y-x}$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - 1 = xe^{y-x}$.ધારો કે $y-x = u$,તો $\frac{du}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1$. આ કિંમત મૂકતા,$\frac{du}{dx} = xe^u$ મળે.ચલને અલગ કરતા: $e^{-u} du = x dx$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-u} du = \int x dx \Rightarrow -e^{-u} = \frac{x^2}{2} + C$.$u = y-x$ મૂકતા: $-e^{-(y-x)} = \frac{x^2}{2} + C \Rightarrow -e^{x-y} = \frac{x^2}{2} + C$.$y(0)=0$ આપેલ છે,તેથી $x=0, y=0$ માટે: $-e^0 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.તેથી,$-e^{x-y} = \frac{x^2}{2} - 1 \Rightarrow e^{x-y} = 1 - \frac{x^2}{2} = \frac{2-x^2}{2}$.પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $x-y = \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right) \Rightarrow y = x - \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right)$.ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લો: $1 + xe^{y-x} = 0$. મૂળ સમીકરણ પરથી,$\frac{dy}{dx} = 1 + x\left(\frac{2}{2-x^2}\right) = \frac{2-x^2+2x}{2-x^2} = 0$.$-x^2+2x+2=0 \Rightarrow x^2-2x-2=0$ ઉકેલતા. બીજ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ મળે.$x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ હોવાથી,આપણે $x = 1-\sqrt{3}$ લઈશું.$x = 1-\sqrt{3}$ ને $y(x)$ માં મૂકતા: $y = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1-\sqrt{3})^2}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1+3-2\sqrt{3})}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-4+2\sqrt{3}}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln(\sqrt{3}-1)$.

Similar Questions

${y^5}x + y - x\frac{{dy}}{{dx}} = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+4}{3x+2y-7}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$(3, 4)$ માંથી પસાર થતા અને વિકલ સમીકરણ $y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + (x - y) \frac{dy}{dx} - x = 0$ નું સમાધાન કરતા વક્રનું સમીકરણ શું હોઈ શકે?

$(1 + xy)y\,dx + (1 - xy)x\,dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

$y\,dx - x\,dy + 3x^2y^2e^{x^3}dx = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module