मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx}=1+x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 1 + xe^{y-x}$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - 1 = xe^{y-x}$.माना $y-x = u$,तो $\frac{du}

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$(1-\sqrt{3})-\log_{e}(\sqrt{3}-1)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 1 + xe^{y-x}$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - 1 = xe^{y-x}$.माना $y-x = u$,तो $\frac{du}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1$. इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{du}{dx} = xe^u$ प्राप्त होता है।चरों को अलग करने पर: $e^{-u} du = x dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-u} du = \int x dx \Rightarrow -e^{-u} = \frac{x^2}{2} + C$.$u = y-x$ रखने पर: $-e^{-(y-x)} = \frac{x^2}{2} + C \Rightarrow -e^{x-y} = \frac{x^2}{2} + C$.$y(0)=0$ दिया गया है,अतः $x=0, y=0$ के लिए: $-e^0 = 0 + C \Rightarrow C = -1$.अतः,$-e^{x-y} = \frac{x^2}{2} - 1 \Rightarrow e^{x-y} = 1 - \frac{x^2}{2} = \frac{2-x^2}{2}$.प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $x-y = \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right) \Rightarrow y = x - \ln\left(\frac{2-x^2}{2}\right)$.न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखें: $1 + xe^{y-x} = 0$. मूल समीकरण से,$\frac{dy}{dx} = 1 + x\left(\frac{2}{2-x^2}\right) = \frac{2-x^2+2x}{2-x^2} = 0$.$-x^2+2x+2=0 \Rightarrow x^2-2x-2=0$ को हल करने पर। मूल $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होते हैं।चूंकि $x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$,हम $x = 1-\sqrt{3}$ लेंगे।$x = 1-\sqrt{3}$ को $y(x)$ में रखने पर: $y = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1-\sqrt{3})^2}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-(1+3-2\sqrt{3})}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln\left(\frac{2-4+2\sqrt{3}}{2}\right) = (1-\sqrt{3}) - \ln(\sqrt{3}-1)$.

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