ધારો કે C એ A (2,-1) અને B (3,4) બિંદુઓમાંથી | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $A(2, -1)$ અને $B(3, 4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવું

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{65}{2}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $A(2, -1)$ અને $B(3, 4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{2+3}{2}, \frac{-1+4}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ છે.$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{4 - (-1)}{3 - 2} = 5$ છે.લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{1}{5}$ છે.લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - \frac{3}{2} = -\frac{1}{5}(x - \frac{5}{2})$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 5y = 10$ થાય છે.આપેલ છે કે કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $(x-5)^2 + (k-1)^2 = \frac{13}{2}$ વર્તુળ પર છે,તેથી $(h-5)^2 + (k-1)^2 = \frac{13}{2}$.વળી,$h + 5k = 10$,તેથી $h = 10 - 5k$.$h$ ની કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(10 - 5k - 5)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies (5 - 5k)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2}$.$25(1 - k)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies 26(k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies (k - 1)^2 = \frac{1}{4} \implies k - 1 = \pm \frac{1}{2}$.જો $k = \frac{3}{2}$ હોય,તો $h = 10 - 5(\frac{3}{2}) = \frac{5}{2}$. કેન્દ્ર $(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ મળે છે,જે મધ્યબિંદુ $M$ છે. આ કિસ્સામાં $AB$ વ્યાસ બને છે,જે શક્ય નથી.જો $k = \frac{1}{2}$ હોય,તો $h = 10 - 5(\frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$. કેન્દ્ર $C = (\frac{15}{2}, \frac{1}{2})$ મળે છે.ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = CA^2 = (\frac{15}{2} - 2)^2 + (\frac{1}{2} - (-1))^2 = (\frac{11}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{121}{4} + \frac{9}{4} = \frac{130}{4} = \frac{65}{2}$.

Similar Questions

એક રેખા $l$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=61$ ને $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં મળે છે. જો $P(-5, 6)$ એવું બિંદુ હોય કે જેથી $PA=PB=10$ થાય,તો રેખા $l$ નું સમીકરણ શોધો.

જો બે વર્તુળોમાં,સમાન લંબાઈના ચાપ કેન્દ્ર આગળ $30^{\circ}$ અને $78^{\circ}$ ના ખૂણા આંતરે,તો તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર શું થાય?

ધારો કે $A, B, C$ એ $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પરના ત્રણ બિંદુઓ છે જેથી $\angle ACB = \frac{\pi}{4}$ થાય. તો,બાજુ $AB$ ની લંબાઈ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module