मान लीजिए z = a + ib, b neq 0 एक सम्मिश्र संख | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $z^{2} = \overline{z} \cdot 2^{1-|z|}$। दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|z|^{2} = |\overline{z}| \cdot 2^{1-|z|}$।चूंकि $|\overline{z}

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$6$

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(B) दिया गया है $z^{2} = \overline{z} \cdot 2^{1-|z|}$। दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|z|^{2} = |\overline{z}| \cdot 2^{1-|z|}$।चूंकि $|\overline{z}| = |z|$,इसलिए $|z|^{2} = |z| \cdot 2^{1-|z|}$।चूंकि $b 
eq 0$,इसलिए $z 
eq 0$,अतः $|z| = 2^{1-|z|}$।निरीक्षण द्वारा,$|z| = 1$ समीकरण को संतुष्ट करता है $(1 = 2^{1-1} = 2^{0} = 1)$।मूल समीकरण में $|z| = 1$ रखने पर,$z^{2} = \overline{z}$।$z$ से गुणा करने पर,$z^{3} = z\overline{z} = |z|^{2} = 1$।अतः,$z$ इकाई का घनमूल है,अर्थात $z = \omega$ या $z = \omega^{2}$,जहाँ $\omega = e^{i2\pi/3}$।हमें $n \in N$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है जिसके लिए $z^{n} = (z + 1)^{n}$ हो।चूंकि $1 + \omega = -\omega^{2}$,समीकरण $\omega^{n} = (-\omega^{2})^{n} = (-1)^{n} \omega^{2n}$ बन जाता है।इसका अर्थ है $1 = (-1)^{n} \omega^{n}$,या $\omega^{n} = (-1)^{n}$।यदि $n = 3$,तो $\omega^{3} = 1$ और $(-1)^{3} = -1$ (बराबर नहीं)।यदि $n = 6$,तो $\omega^{6} = 1$ और $(-1)^{6} = 1$। अतः,$n = 6$ न्यूनतम प्राकृतिक संख्या है।

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