ધારો કે z = a + ib, b neq 0 એ એક સંકર સંખ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $z^{2} = \overline{z} \cdot 2^{1-|z|}$. બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z|^{2} = |\overline{z}| \cdot 2^{1-|z|}$.$|\overline{z}| = |z|$ હોવાથી,$|z

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $z^{2} = \overline{z} \cdot 2^{1-|z|}$. બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z|^{2} = |\overline{z}| \cdot 2^{1-|z|}$.$|\overline{z}| = |z|$ હોવાથી,$|z|^{2} = |z| \cdot 2^{1-|z|}$.$b 
eq 0$ હોવાથી,$z 
eq 0$,તેથી $|z| = 2^{1-|z|}$.નિરીક્ષણ દ્વારા,$|z| = 1$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે $(1 = 2^{1-1} = 2^{0} = 1)$.મૂળ સમીકરણમાં $|z| = 1$ મૂકતા,$z^{2} = \overline{z}$.$z$ વડે ગુણતા,$z^{3} = z\overline{z} = |z|^{2} = 1$.આમ,$z$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,એટલે કે $z = \omega$ અથવા $z = \omega^{2}$,જ્યાં $\omega = e^{i2\pi/3}$.આપણે $n \in N$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે જેથી $z^{n} = (z + 1)^{n}$ થાય.$1 + \omega = -\omega^{2}$ હોવાથી,સમીકરણ $\omega^{n} = (-\omega^{2})^{n} = (-1)^{n} \omega^{2n}$ બને છે.આનો અર્થ એ છે કે $1 = (-1)^{n} \omega^{n}$,અથવા $\omega^{n} = (-1)^{n}$.જો $n = 3$ હોય,તો $\omega^{3} = 1$ અને $(-1)^{3} = -1$ (સમાન નથી).જો $n = 6$ હોય,તો $\omega^{6} = 1$ અને $(-1)^{6} = 1$. આમ,$n = 6$ એ ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

Similar Questions

જો $\sqrt{-3-4 i}=re^{i \theta}$ હોય,તો $r^2 \tan \theta=$

જો $z(1 + a) = b + ic$ અને $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ હોય,તો $\frac{1 + iz}{1 - iz} = $

જો $z$ એ વર્તુળ $|z|=1$ પરનું બિંદુ હોય અને $\operatorname{Arg}(z)=\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $\frac{z^{12}+1-z^6}{z^{12}+i z^6-1}=$

જો $\left|z-\frac{2}{z}\right|=2$ હોય,તો $|z|$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

જો ${z_1}$ અને ${z_2}$ બે સંકર સંખ્યાઓ હોય,તો $Re({z_1}{z_2}) = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module