ધારો કે f:[0,1] rightarrow [0,1] એક સતત વિધેય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ એક સતત વિધેય છે જે તમામ $x \in [0,1]$ માટે $x^2+(f(x))^2 \leq 1$ નું પાલન કરે છે.આનો અર્થ એ છે કે $(f(x))^2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{12}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ એક સતત વિધેય છે જે તમામ $x \in [0,1]$ માટે $x^2+(f(x))^2 \leq 1$ નું પાલન કરે છે.આનો અર્થ એ છે કે $(f(x))^2 \leq 1-x^2$,તેથી $f(x) \leq \sqrt{1-x^2}$ કારણ કે $f(x) \geq 0$ છે.બંને બાજુ $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને $\int_0^1 f(x) dx \leq \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ મળે છે.સંકલન $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ એ $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે,જે $\frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$ છે.આપેલ છે કે $\int_0^1 f(x) dx = \frac{\pi}{4}$,તેથી સમાનતા જળવાવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x \in [0,1]$ માટે $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ થાય.હવે,આપણે $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{f(x)}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ ની ગણતરી કરીએ.આ $[\sin^{-1} x]_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}$ બરાબર છે.

Similar Questions

$\int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx =$

$\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx =$

$\int_3^8 \frac{2 - 3x}{x\sqrt{1 + x}} \, dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \begin{cases} \sqrt{1 - x} & 0 \le x \le 1 \\ (7x - 6)^{-1/3} & 1 < x \le 2 \end{cases}$ હોય,તો $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x-[x]) d x=$, જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય (Greatest Integer Function) દર્શાવે છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module