ધારો કે n એક ધન પૂર્ણાંક છે. વાસ્તવિક સંખ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int \limits_1^{n+1} \frac{(\{x\})^{[x]}}{[x]} d x$. અંતરાલ $[k, k+1)$ માટે $[x]$ અચળ હોવાથી,જ્યાં $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$,આપણે સ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n}{n+1}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int \limits_1^{n+1} \frac{(\{x\})^{[x]}}{[x]} d x$. અંતરાલ $[k, k+1)$ માટે $[x]$ અચળ હોવાથી,જ્યાં $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$,આપણે સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકીએ: $I = \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{(\{x\})^k}{k} d x$. $u = x-k$ લેતા,$dx = du$,અને જ્યારે $x$ એ $k$ થી $k+1$ સુધી બદલાય ત્યારે $\{x\} = u$ થાય છે: $I = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{0}^{1} u^k du = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \left[ \frac{u^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$. આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા,$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$. તેથી,$I = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$. આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $I = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

Similar Questions

$\int_{-1}^1 \frac{\cosh x}{1+e^{2 x}} d x$ ની કિંમત શોધો :

જો $\cos x + \cos 2x + \ldots + \cos nx = \frac{A(x)}{2 \sin(x/2)}$ હોય, તો $\int_0^\pi A(x) dx =$

$\int_{-2}^{1} [x+1] \, dx =$ (જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી મોટો ન હોય તેવું મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે)

ધારો કે $\alpha \in (0,1)$ અને $\beta = \log_{e}(1-\alpha)$. ધારો કે $P_n(x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots + \frac{x^n}{n}$ જ્યાં $x \in (0,1)$. તો સંકલન $\int_{0}^{\alpha} \frac{t^{50}}{1-t} dt$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $g(x) = \int_{-3}^3 f(x-y) f(y) \, dy$,તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે,જ્યાં $f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leq t \leq 1 \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$. તો,

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module