ધારો કે V_1 એ આપેલા લંબવૃત્તીય શંકુનું ઘનફળ છ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે આપેલા શંકુ $V_1$ ની ઊંચાઈ $H$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે. તેનું ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ છે.ધારો કે અંતર્ગત શંકુ $V_2$ ની ઊંચાઈ $h$ અને

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4}{27}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે આપેલા શંકુ $V_1$ ની ઊંચાઈ $H$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે. તેનું ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ છે.ધારો કે અંતર્ગત શંકુ $V_2$ ની ઊંચાઈ $h$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. આ શંકુનું શિરોબિંદુ $O$ પર છે અને તેનો પાયો $O$ થી $h$ અંતરે છે. અંતર્ગત શંકુના પાયાની શિરોબિંદુ $A$ થી ઊંચાઈ $H-h$ છે.સમરૂપ ત્રિકોણો દ્વારા,$\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H} = 1 - \frac{h}{H}$.તેથી,$\frac{h}{H} = 1 - \frac{r}{R} \Rightarrow h = H(1 - \frac{r}{R})$.અંતર્ગત શંકુનું ઘનફળ $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 H(1 - \frac{r}{R}) = \frac{\pi H}{3} (r^2 - \frac{r^3}{R})$ છે.$V_2$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dV_2}{dr} = \frac{\pi H}{3} (2r - \frac{3r^2}{R}) = 0$.આનાથી $r(2 - \frac{3r}{R}) = 0$ મળે છે. $r 
eq 0$ હોવાથી,આપણને $r = \frac{2R}{3}$ મળે છે.$r = \frac{2R}{3}$ ને $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $h = H(1 - \frac{2R/3}{R}) = H(1 - \frac{2}{3}) = \frac{H}{3}$.હવે,$V_2 = \frac{1}{3} \pi (\frac{2R}{3})^2 (\frac{H}{3}) = \frac{1}{3} \pi (\frac{4R^2}{9}) (\frac{H}{3}) = \frac{4}{27} (\frac{1}{3} \pi R^2 H) = \frac{4}{27} V_1$.તેથી,ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4}{27}$ થાય છે.

Similar Questions

ગણ $S=\{x \in R : x^2+30 \leq 11x\}$ પર વિધેય $f(x)=3x^3-18x^2+27x-40$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

$6$ એકમ ત્રાંસી ઊંચાઈ ધરાવતા લંબવૃત્તીય શંકુનું મહત્તમ ઘનફળ કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module