ધારો કે f: R rightarrow R એ એક સતત વિધેય છે જ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સંકલન સમીકરણ $f(x) = x + \int_0^x f(t) dt$ છે. લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે: $f'(x) = 1 +

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સંકલન સમીકરણ $f(x) = x + \int_0^x f(t) dt$ છે. લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે: $f'(x) = 1 + f(x)$. આ $f'(x) - f(x) = 1$ સ્વરૂપનું સુરેખ પ્રથમ ક્રમનું વિકલન સમીકરણ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે. બંને બાજુ $e^{-x}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x}$. $\frac{d}{dx} (f(x) e^{-x}) = e^{-x}$. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $f(x) e^{-x} = \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$. $f(x) = -1 + C e^x$. મૂળ સમીકરણ પરથી,$x=0$ માટે,$f(0) = 0 + \int_0^0 f(t) dt = 0$. $f(x) = -1 + C e^x$ માં $x=0$ મૂકતા: $0 = -1 + C(e^0) \Rightarrow C = 1$. આમ,$f(x) = e^x - 1$. ગણ $S = \{x \in R : f(x) = 0\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $e^x - 1 = 0$ ઉકેલીએ. $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$. માત્ર એક જ ઉકેલ મળે છે,$x=0$. તેથી,ગણ $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $1$ છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = x^3, (x > 0)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

$\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(1 + xy^2(1 + \log_e x))$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $x > 0$ અને $y(1) = 3$. તો $\frac{y^2(x)}{9}$ ની કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} = \frac{1}{e^{-y} - x}$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module