मान लीजिए R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

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Question

(D) $x 
eq 0$ के लिए,फलन एक गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दिया गया है: $f(x) = |x|^\alpha \sum \limits_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{1+x^2}ight)^n$

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$4$ से अधिक अवयव हैं

Vedclass · Answer

(D) $x 
eq 0$ के लिए,फलन एक गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दिया गया है: $f(x) = |x|^\alpha \sum \limits_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{1+x^2}ight)^n$. चूंकि $x 
eq 0$ के लिए $|\frac{1}{1+x^2}| अतः,$f(x) = |x|^\alpha \cdot \frac{1+x^2}{x^2} = |x|^\alpha \cdot |x|^{-2} (1+x^2) = |x|^{\alpha-2} (1+x^2)$। $f$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0) = 0$ होना चाहिए। $\lim_{x 	o 0} |x|^{\alpha-2} (1+x^2) = 0$ तभी संभव है जब $\alpha - 2 > 0$,जिसका अर्थ है $\alpha > 2$। ऐसी वास्तविक संख्याओं $\alpha$ का समुच्चय अंतराल $(2, \infty)$ है। चूंकि इस अंतराल में अनंत वास्तविक संख्याएं हैं,इसलिए समुच्चय में $4$ से अधिक अवयव हैं।

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px}}{x}, & -1 \leq x < 0 \\ \frac{2x+1}{x-2}, & 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$ अंतराल $[-1, 1]$ में सतत है, तो $p = $

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