मान लीजिए f :(0,1) rightarrow R एक फलन है जो | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x-1}$.अतः $f(-x) = \frac{1}{1-e^x}$.$g(x) = f(-x) - f(x) = \frac{1}{1-e^x} - \frac{e^x}{e^x-

Vedclass · Accepted Answer

दोनों $(I)$ और $(II)$ सत्य हैं

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x-1}$.अतः $f(-x) = \frac{1}{1-e^x}$.$g(x) = f(-x) - f(x) = \frac{1}{1-e^x} - \frac{e^x}{e^x-1} = \frac{1}{1-e^x} + \frac{e^x}{1-e^x} = \frac{1+e^x}{1-e^x}$.अब,$g'(x) = \frac{(1-e^x)(e^x) - (1+e^x)(-e^x)}{(1-e^x)^2} = \frac{e^x - e^{2x} + e^x + e^{2x}}{(1-e^x)^2} = \frac{2e^x}{(1-e^x)^2}$.चूंकि सभी $x \in (0,1)$ के लिए $e^x > 0$ और $(1-e^x)^2 > 0$ है,इसलिए $g'(x) > 0$ है।अतः,$g(x)$ अंतराल $(0,1)$ में एक वर्धमान फलन है।चूंकि $g(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह $(0,1)$ में एकैकी फलन भी है।इस प्रकार,दोनों कथन $(I)$ और $(II)$ सत्य हैं।

$A$. $f: R \rightarrow R$, $f(x) = \cos(112x - 37)$ द्वारा परिभाषित	$I$. एकैकी (Injection) लेकिन आच्छादक (Surjection) नहीं
$B$. $f: A \rightarrow B$, $f(x) = x\|x\|$ द्वारा परिभाषित, जहाँ $A = [-2, 2]$ और $B = [-4, 4]$	$II$. आच्छादक लेकिन एकैकी नहीं
$C$. $f: R \rightarrow R$, $f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$ द्वारा परिभाषित	$III$. एकैकी और आच्छादक (Bijection)
$D$. $f: N \rightarrow N$, $f(n) = n+1$ द्वारा परिभाषित	$IV$. न तो एकैकी और न ही आच्छादक
	$V$. संयुक्त फलन

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यदि $f(x) = |\sin x| + |\cos x|$ और $g(x) = [x]$ है,तो $h(x) = g(f(x))$ का आवर्तनांक (period) क्या है? जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन $(G.I.F.)$ को दर्शाता है।

एक फलन $f: R \rightarrow R$ जो $f(x) = \begin{cases} 2x+3, & x \leq \frac{4}{3} \\ -3x^2+8x, & x > \frac{4}{3} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है, वह है

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