मान लीजिए overrightarrow{a} = 2hat{i} + hat{j | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|^2$.दोनों पक्षों का विस्तार $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 +

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केवल $(A)$ सही है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|^2$.दोनों पक्षों का विस्तार $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}$ गुणधर्म का उपयोग करके करने पर:$|\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$.यह सरल होकर $4(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$ हो जाता है।चूंकि $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,इसलिए $4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.कथन $(B)$ कहता है कि $\vec{a}$ और $\overrightarrow{c}$ समांतर हैं,लेकिन $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ का अर्थ है कि वे लंबवत हैं (क्योंकि $\vec{c} 
eq 0$)। अतः,$(B)$ गलत है।कथन $(A)$ के लिए,$|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + \lambda^2 |\overrightarrow{c}|^2 + 2\lambda(\vec{a} \cdot \vec{c})$ पर विचार करें।चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,यह $|\overrightarrow{a}|^2 + \lambda^2 |\overrightarrow{c}|^2$ बन जाता है।चूंकि सभी $\lambda \in R$ के लिए $\lambda^2 |\overrightarrow{c}|^2 \geq 0$,इसलिए $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}|^2 \geq |\overrightarrow{a}|^2$ होता है,जिसका अर्थ है कि $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}| \geq |\overrightarrow{a}|$.अतः,$(A)$ सही है।

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