मान लीजिए alpha, beta, gamma समीकरण x^3+bx+c= | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $x^3+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।दी गई शर्तों के अनुसार,$\alpha = -1$ और $\beta \gamma = 1$ है।चूंकि $\alpha$

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(C) दिया गया समीकरण $x^3+bx+c=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।दी गई शर्तों के अनुसार,$\alpha = -1$ और $\beta \gamma = 1$ है।चूंकि $\alpha$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $(-1)^3 + b(-1) + c = 0$,जो $-1 - b + c = 0$ या $c - b = 1$ में सरल हो जाता है।मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -c$ होता है।$\alpha = -1$ और $\beta \gamma = 1$ रखने पर,हमें $(-1)(1) = -c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = 1$ है।$c = 1$ को $c - b = 1$ में रखने पर,हमें $1 - b = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = 0$ है।समीकरण $x^3 + 1 = 0$ बन जाता है।$x^3 = -1$ के मूल $-1, -\omega, -\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।मान लीजिए $\alpha = -1, \beta = -\omega, \gamma = -\omega^2$ है।हमें $b^3 + 2c^3 - 3\alpha^3 - 6\beta^3 - 8\gamma^3$ का मान ज्ञात करना है।मान रखने पर: $0^3 + 2(1)^3 - 3(-1)^3 - 6(-\omega)^3 - 8(-\omega^2)^3$.$= 0 + 2 - 3(-1) - 6(-\omega^3) - 8(-\omega^6)$.$= 2 + 3 + 6(1) + 8(1) = 2 + 3 + 6 + 8 = 19$.

मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+bx+c=0$ के तीन मूल हैं। यदि $\beta \gamma=1=-\alpha$ है,तो $b^3+2c^3-3\alpha^3-6\beta^3-8\gamma^3$ का मान $......$ है।

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