मान लीजिए k और m धनात्मक वास्तविक संख्याएँ है | vedclass

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Question

(A) चूंकि $f(x)$ सभी $x > 0$ के लिए अवकलनीय है,इसलिए यह $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।अतः,$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = f(1)$.$3(1)^2 + k\sqrt{1+1} = m(1)^2 +

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$309$

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(A) चूंकि $f(x)$ सभी $x > 0$ के लिए अवकलनीय है,इसलिए यह $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।अतः,$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = f(1)$.$3(1)^2 + k\sqrt{1+1} = m(1)^2 + k^2 \implies 3 + k\sqrt{2} = m + k^2 \quad \dots(1)$साथ ही,$f'(x)$ को $x = 1$ पर सतत होना चाहिए,इसलिए $f'_-(1) = f'_+(1)$.$0 $x > 1$ के लिए,$f'(x) = 2mx$.$x = 1$ पर,$6(1) + \frac{k}{2\sqrt{2}} = 2m(1) \implies 2m = 6 + \frac{k}{2\sqrt{2}} \implies m = 3 + \frac{k}{4\sqrt{2}} \quad \dots(2)$समीकरण $(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$3 + k\sqrt{2} = (3 + \frac{k}{4\sqrt{2}}) + k^2$$k^2 + k(\frac{1}{4\sqrt{2}} - \sqrt{2}) = 0$$k^2 - \frac{7k}{4\sqrt{2}} = 0$.चूंकि $k > 0$,इसलिए $k = \frac{7}{4\sqrt{2}}$.तब $m = 3 + \frac{7/4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 3 + \frac{7}{32} = \frac{103}{32}$.अब,$f'(8) = 2m(8) = 16m = 16(\frac{103}{32}) = \frac{103}{2}$.और $f'(\frac{1}{8}) = 6(\frac{1}{8}) + \frac{k}{2\sqrt{1/8+1}} = \frac{3}{4} + \frac{7/4\sqrt{2}}{2(3/2\sqrt{2})} = \frac{3}{4} + \frac{7}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.अतः,$\frac{8f'(8)}{f'(1/8)} = \frac{8(103/2)}{4/3} = 309$.

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