मान लीजिए कि ABC एक त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफ | vedclass

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Question

(A) त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $	ext{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} 	imes \overrightarrow{AC}| = 15 \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है।सबसे पहल

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$54$

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(A) त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $	ext{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} 	imes \overrightarrow{AC}| = 15 \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है।सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} 	imes \overrightarrow{AC}$ की गणना करें:$\overrightarrow{AB} 	imes \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 2 & -7 \ 6 & d & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 7d) - \hat{j}(-2 + 42) + \hat{k}(d - 12) = (7d - 4)\hat{i} - 40\hat{j} + (d - 12)\hat{k}$.अब,इसका परिमाण ज्ञात करें:$|\overrightarrow{AB} 	imes \overrightarrow{AC}|^2 = (7d - 4)^2 + (-40)^2 + (d - 12)^2 = (2 	imes 15 \sqrt{2})^2 = 900 	imes 2 = 1800$.$(49d^2 - 56d + 16) + 1600 + (d^2 - 24d + 144) = 1800$.$50d^2 - 80d + 1760 = 1800 \implies 50d^2 - 80d - 40 = 0 \implies 5d^2 - 8d - 4 = 0$.$d$ के लिए हल करने पर:$5d^2 - 10d + 2d - 4 = 0 \implies 5d(d - 2) + 2(d - 2) = 0 \implies (5d + 2)(d - 2) = 0$.चूँकि $d > 0$,इसलिए $d = 2$ है।सदिश त्रिभुज नियम $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (6-1)\hat{i} + (d-2)\hat{j} + (-2 - (-7))\hat{k} = 5\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k}$.अब,भुजाओं की लंबाई के वर्गों की गणना करें:$|\overrightarrow{AB}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-7)^2 = 1 + 4 + 49 = 54$.$|\overrightarrow{BC}|^2 = 5^2 + 0^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.$|\overrightarrow{AC}|^2 = 6^2 + 2^2 + (-2)^2 = 36 + 4 + 4 = 44$.सबसे बड़ी भुजा $\sqrt{54}$ है,और इसका वर्ग $54$ है।

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यदि $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ है,तो $\vec{a} \times \vec{b}$ ज्ञात कीजिए।

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