मान लीजिए x_1, x_2, x_3, x_4 समीकरण 4x^4 + 8x | vedclass

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Question

(D) माना $P(x) = 4x^4 + 8x^3 - 17x^2 - 12x + 9 = 4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$.हमें गुणनफल $S = (4+x_1^2)(4+x_2^2)(4+x_3^2)(4+x_4^2)$ का मान ज्ञात कर

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$221$

Vedclass · Answer

(D) माना $P(x) = 4x^4 + 8x^3 - 17x^2 - 12x + 9 = 4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$.हमें गुणनफल $S = (4+x_1^2)(4+x_2^2)(4+x_3^2)(4+x_4^2)$ का मान ज्ञात करना है।ध्यान दें कि $4+x_k^2 = (2i+x_k)(-2i+x_k) = (x_k - 2i)(x_k + 2i)$.अतः,$S = \prod_{k=1}^4 (x_k - 2i) \prod_{k=1}^4 (x_k + 2i) = \prod_{k=1}^4 (2i - x_k) \prod_{k=1}^4 (-2i - x_k)$.$P(x) = 4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ से,$\prod_{k=1}^4 (x-x_k) = \frac{P(x)}{4}$ प्राप्त होता है।अतः,$\prod_{k=1}^4 (2i - x_k) = \frac{P(2i)}{4}$ और $\prod_{k=1}^4 (-2i - x_k) = \frac{P(-2i)}{4}$.$P(2i) = 141 - 88i$ और $P(-2i) = 141 + 88i$.$S = \frac{P(2i) P(-2i)}{16} = \frac{141^2 + 88^2}{16} = \frac{27625}{16}$.दिया गया है कि $S = \frac{125}{16}m$,इसलिए $\frac{27625}{16} = \frac{125}{16}m$.$m = 221$.

मान लीजिए $x_1, x_2, x_3, x_4$ समीकरण $4x^4 + 8x^3 - 17x^2 - 12x + 9 = 0$ के मूल हैं। यदि $(4+x_1^2)(4+x_2^2)(4+x_3^2)(4+x_4^2) = \frac{125}{16}m$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

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