मान लीजिए A_1, A_2, A_3, ldots, A_8 एक नियमित | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए कि नियमित अष्टकोण के शीर्ष सम्मिश्र संख्याओं $z_k = 2e^{i(	heta_0 + \frac{2\pi(k-1)}{8})}$ द्वारा दर्शाए गए हैं,जहाँ $k=1, 2, \ldots, 8

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$512$

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(C) मान लीजिए कि नियमित अष्टकोण के शीर्ष सम्मिश्र संख्याओं $z_k = 2e^{i(	heta_0 + \frac{2\pi(k-1)}{8})}$ द्वारा दर्शाए गए हैं,जहाँ $k=1, 2, \ldots, 8$ है। सामान्यता खोए बिना,मान लीजिए $	heta_0 = 0$ है। शीर्ष समीकरण $z^8 - 2^8 = 0$ के मूल हैं।अतः,$z^8 - 2^8 = \prod_{k=1}^8 (z - A_k)$ है।मान लीजिए $P$ को सम्मिश्र संख्या $z = 2e^{i	heta}$ द्वारा दर्शाया गया है। दूरी $PA_k = |z - A_k|$ है।गुणनफल $\prod_{k=1}^8 PA_k = |\prod_{k=1}^8 (z - A_k)| = |z^8 - 2^8|$ है।$z = 2e^{i	heta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|(2e^{i	heta})^8 - 2^8| = |2^8 e^{i8	heta} - 2^8| = 2^8 |e^{i8	heta} - 1|$ प्राप्त होता है।सर्वसमिका $|e^{i\phi} - 1| = 2|\sin(\frac{\phi}{2})|$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $\phi = 8	heta$ है,इसलिए गुणनफल $2^8 \cdot 2|\sin(4	heta)| = 512 |\sin(4	heta)|$ है।$|\sin(4	heta)|$ का अधिकतम मान $1$ है।अतः,गुणनफल का अधिकतम मान $512 	imes 1 = 512$ है।

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