मान लीजिए कि p और q ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $\alpha+\beta = -p$ और $\alpha^3+\beta^3 = q$ है। सर्वसमिका $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ का उ

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$(p^3+q)x^2-(p^3-2q)x+(p^3+q)=0$

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(B) दिया गया है कि $\alpha+\beta = -p$ और $\alpha^3+\beta^3 = q$ है। सर्वसमिका $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ का उपयोग करने पर,$q = (-p)^3 - 3\alpha\beta(-p) = -p^3 + 3p\alpha\beta$ प्राप्त होता है। अतः,$3p\alpha\beta = p^3+q$,जिसका अर्थ है $\alpha\beta = \frac{p^3+q}{3p}$। $\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha})x + 1 = 0$ है। यह $x^2 - (\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta})x + 1 = 0$ में सरल हो जाता है। चूंकि $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (-p)^2 - 2(\frac{p^3+q}{3p}) = p^2 - \frac{2(p^3+q)}{3p} = \frac{3p^3 - 2p^3 - 2q}{3p} = \frac{p^3-2q}{3p}$ है। इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 - (\frac{(p^3-2q)/3p}{(p^3+q)/3p})x + 1 = 0$। $x^2 - (\frac{p^3-2q}{p^3+q})x + 1 = 0$। $(p^3+q)$ से गुणा करने पर,हमें $(p^3+q)x^2 - (p^3-2q)x + (p^3+q) = 0$ प्राप्त होता है।

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