ધારો કે $P_1$ અને $P_2$ બે સમતલો છે જે $P_1: 10x + 15y + 12z - 60 = 0$ અને $P_2: -2x + 5y + 4z - 20 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવ્યા છે. નીચેનામાંથી કઈ સીધી રેખા એવા ચતુષ્ફલકની ધાર હોઈ શકે છે જેના બે ફલક $P_1$ અને $P_2$ પર આવેલા હોય?
$(A) \frac{x-1}{0} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-1}{5}$
$(B) \frac{x-6}{-5} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$
$(C) \frac{x}{-2} = \frac{y-4}{5} = \frac{z}{4}$
$(D) \frac{x}{1} = \frac{y-4}{-2} = \frac{z}{3}$

જો રેખાઓ $x = 1 + s, y = -3 - \lambda s, z = 1 + \lambda s$ અને $x = t/2, y = 1 + t, z = 2 - t$ સમતલીય હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો રેખા $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - k}{2}$ એ સમતલ $2x - 4y + z = 7$ પર આવેલ હોય,તો $k = . . . . $

ધારો કે $\ell_1$ અને $\ell_2$ એ રેખાઓ $\vec{r}_1=\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ અને $\vec{r}_2=(\hat{j}-\hat{k})+\mu(\hat{i}+\hat{k})$ છે. ધારો કે $X$ એ તમામ સમતલો $H$ નો સમૂહ છે જે રેખા $\ell_1$ ને સમાવે છે. સમતલ $H$ માટે,$d(H)$ એ $\ell_2$ ના બિંદુઓ અને $H$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર દર્શાવે છે. ધારો કે $H_0$ એ $X$ માં એવું સમતલ છે જેના માટે $d(H_0)$ એ $X$ ના તમામ સમતલોમાં $d(H)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય છે. List-$I$ ની દરેક એન્ટ્રીને List-$II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો.

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $d(H_0)$ નું મૂલ્ય છે	$(1)$ $\sqrt{3}$
$(Q)$ બિંદુ $(0,1,2)$ નું $H_0$ થી અંતર છે	$(2)$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$
$(R)$ ઉગમબિંદુનું $H_0$ થી અંતર છે	$(3)$ $0$
$(S)$ ઉગમબિંદુનું સમતલો $y=z, x=1$ અને $H_0$ ના છેદબિંદુથી અંતર છે	$(4)$ $\sqrt{2}$
	$(5)$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$

રેખાઓ $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{-3}$ અને $\frac{x+5}{3}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z+3}{4}$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $xy$-સમતલને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો.

રેખા $\frac{x - 1}{5} = \frac{y + 2}{6} = \frac{z - 3}{4}$ અને બિંદુ $(4, 3, 7)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.