मान लीजिए p, q, r अशून्य वास्तविक संख्याएँ है | vedclass

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Question

(B) चूंकि $p, q, r$ एक हरात्मक प्रगति के $10^{	ext{th}}, 100^{	ext{th}}, 1000^{	ext{th}}$ पद हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \

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$(I) \rightarrow (Q); (II) \rightarrow (S); (III) \rightarrow (S); (IV) \rightarrow (R)$

Vedclass · Answer

(B) चूंकि $p, q, r$ एक हरात्मक प्रगति के $10^{	ext{th}}, 100^{	ext{th}}, 1000^{	ext{th}}$ पद हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं। मान लीजिए $AP$ $a + (n-1)d$ है। तो $\frac{1}{p} = a + 9d, \frac{1}{q} = a + 99d, \frac{1}{r} = a + 999d$ है।तीसरे समीकरण $qrx + pry + pqz = 0$ को $pqr$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 0$ प्राप्त होता है।$AP$ पदों को प्रतिस्थापित करने पर,प्रणाली इस प्रकार बनती है:$x+y+z=1$$x+10y+100z=0$$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 0$प्रणाली का सारणिक $D$ की गणना करने पर: $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 10 & 100 \ \frac{1}{p} & \frac{1}{q} & \frac{1}{r} \end{vmatrix}$।$AP$ के गुणों का उपयोग करते हुए,$D = 0$ तभी होता है जब पदों का अनुपात प्रगति से मेल खाता हो। विशेष रूप से,यदि $D=D_x=D_y=D_z=0$ हो तो प्रणाली के अनंत हल होते हैं।$(I)$ के लिए,यदि $\frac{q}{r}=10$,तो प्रणाली अनंत हलों $(R)$ के साथ सुसंगत है,और चूंकि इसके अनंत हल हैं,इसलिए इसके पास कम से कम एक हल $(T)$ है।$(II)$ के लिए,यदि $\frac{p}{r} 
eq 100$,तो प्रणाली असंगत है,जिसका अर्थ है कि कोई हल नहीं है $(S)$।$(III)$ के लिए,यदि $\frac{p}{q} 
eq 10$,तो प्रणाली असंगत है,जिसका अर्थ है कि कोई हल नहीं है $(S)$।$(IV)$ के लिए,यदि $\frac{p}{q}=10$,तो प्रणाली के पास अनंत हल $(R)$ हैं,और इसलिए कम से कम एक हल $(T)$ है।इनका मिलान करने पर,$(I) ightarrow (R, T), (II) ightarrow (S), (III) ightarrow (S), (IV) ightarrow (R, T)$। विकल्प $(B)$ सही मिलान है।

$List-I$	$List-II$
$(I)$ यदि $\frac{q}{r}=10$,तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के पास	$(P)$ हल के रूप में $x=0, y=\frac{10}{9}, z=-\frac{1}{9}$ है
$(II)$ यदि $\frac{p}{r} \neq 100$,तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के पास	$(Q)$ हल के रूप में $x=\frac{10}{9}, y=-\frac{1}{9}, z=0$ है
$(III)$ यदि $\frac{p}{q} \neq 10$,तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के पास	$(R)$ अनंत हल हैं
$(IV)$ यदि $\frac{p}{q}=10$,तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के पास	$(S)$ कोई हल नहीं है
	$(T)$ कम से कम एक हल है

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