ધારો કે f(x) એક વાસ્તવિક વિકલનીય વિધેય છે જેથ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)$.$x=0$ અને $y=0$ લેતા,આપણને $f(0)=f(0)f'(0)+f'(0)f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $1=2f'(0)$,તેથી $f'(0)=\frac{

Vedclass · Accepted Answer

$2525$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)$.$x=0$ અને $y=0$ લેતા,આપણને $f(0)=f(0)f'(0)+f'(0)f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $1=2f'(0)$,તેથી $f'(0)=\frac{1}{2}$.મૂળ સમીકરણમાં $y=0$ લેતા,આપણને $f(x)=f(x)f'(0)+f'(x)f(0)$ મળે છે.$f(0)=1$ અને $f'(0)=\frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $f(x)=\frac{1}{2}f(x)+f'(x)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $f'(x)=\frac{f(x)}{2}$ થાય છે.આ એક વિયોજનીય વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{2}$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $\ln|f(x)|=\frac{x}{2}+C$ મળે છે.$f(0)=1$ હોવાથી,$\ln(1)=0+C$,તેથી $C=0$.આમ,$\ln f(x)=\frac{x}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $f(x)=e^{x/2}$.હવે,$\sum_{n=1}^{100} \log_{e} f(n) = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{2} = \frac{1}{2} 	imes \frac{100(101)}{2} = \frac{5050}{2} = 2525$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 1 - x + y - xy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શું છે? (જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે)

વિકલ સમીકરણ $y \, dx - x \, dy + x y^2 \, dx = 0$ નો ઉકેલ શું છે?

જો વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{y} = \frac{a}{y}$,જ્યાં $a$ અચળાંક છે,તે વર્તુળોની સંહતિ દર્શાવતું હોય,તો વર્તુળની ત્રિજ્યા ...... છે.

વિકલ સમીકરણ $(1 - x^2)dy + xydx = xy^2dx$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y(1+\log x) = (\log x^x) \frac{dy}{dx}$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યાં $y(e) = e^2$ આપેલ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module