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Question

(B) दिया गया है कि $f(x) = f(1-x)$ और $R_1 = \int_{-1}^2 x f(x) dx$ है। गुणधर्म $\int_{a}^b g(x) dx = \int_{a}^b g(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $

Vedclass · Accepted Answer

$2 R_1$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $f(x) = f(1-x)$ और $R_1 = \int_{-1}^2 x f(x) dx$ है। गुणधर्म $\int_{a}^b g(x) dx = \int_{a}^b g(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -1$ और $b = 2$ है,हमें $a+b = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$R_1 = \int_{-1}^2 (1-x) f(1-x) dx$ है। चूँकि $f(1-x) = f(x)$,हमें $R_1 = \int_{-1}^2 (1-x) f(x) dx$ प्राप्त होता है। $R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx - \int_{-1}^2 x f(x) dx$ है। $R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx - R_1$ है। $2 R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx$ है। चूँकि $R_2$,$y = f(x)$ द्वारा $x = -1$ से $x = 2$ तक परिबद्ध क्षेत्रफल है,इसलिए $R_2 = \int_{-1}^2 f(x) dx$ है। अतः,$R_2 = 2 R_1$ है।

List-$I$	List-$II$
$I. \int_{-1}^1 x\|x\| dx$	$(a) \frac{\pi}{2}$
$II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$	$(b) \int_0^a 2f(x) dx$
$III. \int_0^a f(x) dx$	$(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx$	$(d) 0$
	$(e) \int_0^a f(a-x) dx$

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यदि शून्येतर $x$ के लिए,$af(x) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 5,$ जहाँ $a \ne b,$ है,तो $\int_1^2 {f(x)\,dx = } $

समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sec \theta - \tan \theta) \, d\theta$ का मान है

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