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Question

(A) फलन को $f(x) = \min \{x, x^2\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।$x$ और $x^2$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि जब $0 \leq x \leq 1$ होता है तो $x^2

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$f(x)$ सभी $x$ के लिए सतत है

Vedclass · Answer

(A) फलन को $f(x) = \min \{x, x^2\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।$x$ और $x^2$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि जब $0 \leq x \leq 1$ होता है तो $x^2 \leq x$ होता है,और अन्यथा $x अतः,$f(x) = \begin{cases} x, & x  1 \end{cases}$ है।$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच: $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = 0$ और $\lim_{x 	o 0^+} f(x) = 0^2 = 0$ है। चूँकि $f(0) = 0$ है,इसलिए यह $x = 0$ पर सतत है।$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच: $\lim_{x 	o 1^-} f(x) = 1^2 = 1$ और $\lim_{x 	o 1^+} f(x) = 1$ है। चूँकि $f(1) = 1$ है,इसलिए यह $x = 1$ पर सतत है।अब,अवकलनीयता की जाँच: $f'(x) = \begin{cases} 1, & x  1 \end{cases}$ है।$x = 0$ पर: बायाँ अवकलज $1$ है,दायाँ अवकलज $2(0) = 0$ है। चूँकि $1 
eq 0$ है,इसलिए यह $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।$x = 1$ पर: बायाँ अवकलज $2(1) = 2$ है,दायाँ अवकलज $1$ है। चूँकि $2 
eq 1$ है,इसलिए यह $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।अतः,$f(x)$ सभी $x$ के लिए सतत है।

मान लीजिए कि प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $f(x) = \min \{x, x^2\}$ है। तो:

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