मान लीजिए a एक धनात्मक वास्तविक संख्या है। यद | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।यहाँ $f(0) = \ln 3 \ln 4$ दिया गया है।अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं

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(A) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।यहाँ $f(0) = \ln 3 \ln 4$ दिया गया है।अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं: $\lim_{x 	o 0} \frac{6^x-3^x-2^x+1}{1-\cos \left(\frac{x}{a}ight)}$.अंश: $6^x-3^x-2^x+1 = (3^x-1)(2^x-1)$.हर: $1-\cos \left(\frac{x}{a}ight) = 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2a}ight)$.अतः,$\lim_{x 	o 0} \frac{(3^x-1)(2^x-1)}{2 \sin^2 \left(\frac{x}{2a}ight)} = 2a^2 \ln 3 \ln 2$.चूंकि $\ln 4 = 2 \ln 2$,यह मान $a^2 \ln 3 \ln 4$ हो जाता है।$f(0)$ के साथ तुलना करने पर: $a^2 \ln 3 \ln 4 = \ln 3 \ln 4$.इस प्रकार,$a^2 = 1$. चूंकि $a$ धनात्मक है,$a=1$।

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यदि $f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & \text{यदि } |2x - 3| \geq 2 \\ 3x + 2 & \text{यदि } \frac{1}{2} < x < \frac{5}{2} \end{cases}$ अपने प्रांत पर सतत है,तो $a + b$ का मान क्या है?

यदि फलन $f(x)$,जो नीचे परिभाषित है,हर जगह सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए: $f(x)=\begin{cases} \frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1}, & x \neq 0 \\ k, & x=0 \end{cases}$

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