मान लीजिए |x| 2 के लिए f(x) = frac{x^2 - 4} | vedclass

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Question

(C) यह जाँचने के लिए कि क्या फलन एकैकी है,मान लीजिए $f(x) = f(y)$.$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} = \frac{y^2 - 4}{y^2 + 4}$$\frac{x^2 + 4 - 8}{x^2 + 4} = \f

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बहु-एक और अंतःक्षेपी

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(C) यह जाँचने के लिए कि क्या फलन एकैकी है,मान लीजिए $f(x) = f(y)$.$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} = \frac{y^2 - 4}{y^2 + 4}$$\frac{x^2 + 4 - 8}{x^2 + 4} = \frac{y^2 + 4 - 8}{y^2 + 4}$$1 - \frac{8}{x^2 + 4} = 1 - \frac{8}{y^2 + 4}$$\frac{8}{x^2 + 4} = \frac{8}{y^2 + 4}$$x^2 + 4 = y^2 + 4$$x^2 = y^2 \Rightarrow x = \pm y$.चूँकि $f(2) = f(-2) = 0$,फलन बहु-एक है।यह जाँचने के लिए कि क्या यह आच्छादक है,मान लीजिए $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$.$y(x^2 + 4) = x^2 - 4$$yx^2 + 4y = x^2 - 4$$4y + 4 = x^2(1 - y)$$x^2 = \frac{4(1 + y)}{1 - y}$.$x$ के वास्तविक होने के लिए,$\frac{1 + y}{1 - y} \ge 0$,जिसका अर्थ है $y \in (-1, 1)$.हालाँकि,$|x| \ge 2$ के लिए,$x^2 \ge 4$.$\frac{4(1 + y)}{1 - y} \ge 4 \Rightarrow 1 + y \ge 1 - y \Rightarrow 2y \ge 0 \Rightarrow y \ge 0$.अतः,परिसर $[0, 1)$ है,जो सह-प्रांत $(-1, 1)$ का एक उचित उपसमुच्चय है।इसलिए,फलन अंतःक्षेपी है।

मान लीजिए $|x| > 2$ के लिए $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$ है,तो फलन $f: (- \infty, -2] \cup [2, \infty) \to (-1, 1)$ है

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