मान लीजिए f: R rightarrow R एक अवकलनीय फलन है | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $L = \lim _{x \rightarrow 1} \int_4^{f(x)} \frac{2 t}{x-1} dt$. समाकलन का मूल्यांकन करने पर, हमें प्राप्त होता है: $L = \lim _{x \righta

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$16$

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(A) मान लीजिए $L = \lim _{x ightarrow 1} \int_4^{f(x)} \frac{2 t}{x-1} dt$. समाकलन का मूल्यांकन करने पर, हमें प्राप्त होता है: $L = \lim _{x ightarrow 1} \frac{1}{x-1} [t^2]_4^{f(x)} = \lim _{x ightarrow 1} \frac{[f(x)]^2 - 16}{x-1}$. चूंकि $f(1) = 4$, यह व्यंजक $\frac{0}{0}$ रूप में है। $L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर: $L = \lim _{x ightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx} ([f(x)]^2 - 16)}{\frac{d}{dx} (x-1)} = \lim _{x ightarrow 1} \frac{2 f(x) f^{\prime}(x)}{1}$. $f(1) = 4$ और $f^{\prime}(1) = 2$ का मान रखने पर: $L = 2 	imes f(1) 	imes f^{\prime}(1) = 2 	imes 4 	imes 2 = 16$.

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है और $f(1)=4$ है। तो $\lim _{x \rightarrow 1} \int_4^{f(x)} \frac{2 t}{x-1} dt$ का मान क्या होगा, यदि $f^{\prime}(1)=2$ है?

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